Question

已知 a₁=3，a₂=6，且 a_n+2=a_n+1-a_n，则a₂₀₀₉=

-6

．

Answer 1

分析：由已知条件变形可得数列{a_n}的周期为6，可得a₂₀₀₉=a₅，在由已知条件求得a₅即可．

解答：解：由条件a_n+2=a_n+1-a_n可得：a_n+6=a_n+5-a_n+4
=（a_n+4-a_n+3）-a_n+4=-a_n+3=-（a_n+2-a_n+1）
=-[（a_n+1-a_n）-a_n+1]=a_n，
于是可知数列{a_n}的周期为6，
∴a₂₀₀₉=a₅，又a₁=3，a₂=6，
∴a₃=a₂-a₁=3，a₄=a₃-a₂=-3，
故a₂₀₀₉=a₅=a₄-a₃=-6．
故答案为：-6．

点评：本题考查数列的周期性，得出周期为6是解决问题的关键，属基础题．