Question

设数列{a_n} 的前n项和为S_n，满足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求证：数列{aⁿ+2ⁿ}是等比数列
（3）证明：对一切正整数n，有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）利用数列的条件，建立三个数的方程，求解a₁，a₂，a₃的值．
（2）利用等比数列的定义去证明．
（3）利用放缩法证明不等式．

解答：解：（1）因为a₁，a₂+5，a₃成等差数列，所以a₁+a₃=2（a₂+5），①，
当n=1时，2a₁=a₂-3，②
当n=2时，2（a₁+a₂）=a₃-7，③
所以联立①②③解得，a₁=1，a₂=5，a₃=19．
（2）由2sn=an+1-2n+1+1，①得2sn-1=an-2n+1(n≥2)，②，
两式相减得2an=an+1-an_2n(n≥2)，所以

an+1+2n+1

an+2n

=

3an+2n+2n+1

an+2n

=3(n≥2)．
因为

a2+22

a1+2

=3，所以{an+2n}是首项为3，公比为3的等比数列．所以a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），又a₁=1，a₁+2¹=3，
所以a_n+2ⁿ=3ⁿ，即a_n=3ⁿ-2ⁿ．

（3）因为an+1=3n+1-2n+1＞2×3n-2n+1=2an，所以

1

an+1

＜

1

2

?

1

an

，
所以当n≥2时，

1

a3

＜

1

2

?

1

a2

，

1

a4

＜

1

2

?

1

a3

…

1

an

＜

1

2

?

1

an-1

，两边同时相乘得

1

an

＜(

1

2

)n-2?

1

a2

，
所以

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤1+

1

5

+

1

2

×

1

5

+…+(

1

2

)n-2×

1

5

＜

7

5

＜

3

2

．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列递推式，着重考查等比数列的求和，着重考查放缩法的应用，综合性强，运算量大．