Question

已知椭圆经过点P（2，1），离心率，直线l与椭圆C交于A，B两点  （A，B均异于点P），且有．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：直线l过定点．

Answer 1

解：（1）由题意得椭圆经过点P（2，1）
所以，
又因为，a²=b²+c²，
∴a²=8，b²=2，c²=6．故方程为．
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线l的斜率存在时设直线l的方程为：y=kx+m
直线l与椭圆C的方程联立，消去y得，（1+4k²）x²+8kmx+4m²-8=0．
则．
=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m-1）（kx₂+m-1）
=（1+k²）x₁x₂+
=
∴（6k+5m+3）（2k+m-1）=0．
若6k+5m+3=0，则l：，∴直线l过定点．
若2k+m-1=0，则l：y=kx-2k+1=k（x-2）+1，∴直线l过定点（2，1），即为P点（舍去）．
当斜率k不存在，易知，符合题意．
综上，直线l过定点
分析：（1）由题意得椭圆经过点P（2，1）所以可得a与b的一个关系式，结合，a²=b²+c²，可解出a，b，c．
（2）证明：设出A，B两个点的坐标，再分斜率存在与不存在两种情况设出直线l方程．
当斜率存在时：y=kx+m，直线l与椭圆C的方程联立，消去y得，（1+4k²）x²+8kmx+4m²-8=0．结合根与系数的关系表示出=
所以（6k+5m+3）（2k+m-1）=0．可解出答案．当斜率k不存在，易知，符合题意．
点评：解决此类问题的关键是准确的运算，抓住向量的数量积等于0结合根与系数的关系准确的化简得出结果，本题出错的关键是不能准确的进行代数运算，正确的代数运算也是高考成功的条件之一．