Question

某中学，由于不断深化教育改革，办学质量逐年提高．2006年至2009年高考考入一流大学人数如下：

年　　　 份	2006	2007	2008	2009
高考上线人数	116	172	220	260

以年份为横坐标，当年高考上线人数为纵坐标建立直角坐标系，由所给数据描点作图（如图所示），从图中可清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近，因此，用一次函数y=ax+b来模拟高考上线人数与年份的函数关系，并以此来预测2010年高考一本上线人数．如下表：

年　　 份	2006	2007	2008	2009
年份代码x	1	2	3	4
实际上线人数	116	172	220	260
模拟上线人数	y1=a+b	y2=2a+b	y3=3a+b	y4=4a+b

为使模拟更逼近原始数据，用下列方法来确定模拟函数．
设S=（y₁-y₁′）²+（y₂-y₂′）²+（y₃-y₃′）²+（y₄-y₄′）²，y₁′、y₂′、y₃′、y₄′表示各年实际上线人数，y₁、y₂、y₃、y₄表示模拟上线人数，当S最小时，模拟函数最为理想．试根据所给数据，预测2010年高考上线人数．

Answer 1

解：S=（a+b-116）²+（2a+b-172）²+（3a+b-220）²+（4a+b-260）²
=4b²+2（10a-768）b+（a-116）²+（2a-172）²+（3a-220）²+（4a-260）²
当 5a+2b=384①时，S有最小值，
其中最小值为：
M=（a-116）²+（2a-172）²+（3a-220）²+（4a-260）²
=30a²-2×2160a+116²+172²+220²+260²-25a²+3840a-34²
当且仅当a=48时，M有最小值．
∴a=4代入①得b=7．
y₅=5×48+72=312．
答：2010年高考上线人数大约312．
分析：将已知表中代入模拟函数公式，求出s转化为关于b的二次函数求出函数的最小值．
点评：本题考查利用题中定义得到二次函数，然后二次函数最值的求法，求出对称轴，然后求出函数的最值．