Question

已知，g（x）=lnx，（x＞0，a∈R是常数）．
（1）求曲线y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线l．
（2）是否存在常数a，使l也是曲线y=f（x）的一条切线．若存在，求a的值；若不存在，简要说明理由．
（3）设F（x）=f（x）-g（x），讨论函数F（x）的单调性．

Answer 1

【答案】分析：（1）把x=1代入到g（x）解析式中求出g（1）的值，得到切点的坐标，然后求出g（x）的导函数，把x=1代入导函数求出对应导函数的函数即为切线的斜率，根据切点坐标和求出的斜率写出切线方程即可；
（2）根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，因为直线l也为曲线y=f（x）的一条切线，把x=x代入到导函数中求出的函数值为直线l的斜率即为1，得到一个关系式，把切点的横坐标代入直线l的方程求出纵坐标，再把切点的横坐标代入到f（x）求出纵坐标，两者相等得到另一个关系式，把两个关系式联立即可求出切点的横坐标和a的值，所以存在常数a，使l也是曲线f（x）的切线；
（3）把f（x）和g（x）代入到F（x）=f（x）-g（x）中，求出F（x）的导函数，利用a的范围a大于等于，a=0，a大于0小于，a小于0，四种情况讨论导函数的正负即可得到函数F（x）的增减区间．
解答：解：（1）g（1）=0，所以P的坐标为（1，0），
，则切线的斜率k=g′（1）=1，
所以直线l的方程为y-0=1（x-1），化简得y=x-1；
（2）由，得f′（x）=a+，
设y=f（x）在x=x处的切线为l，
则有，解得，
即当时，l是曲线y=f（x）在点Q（2，1）的切线；
（3）．
当，时，F′（x）≥0，F（x）在（0，+∞）单调递增；
当a=0时，，F（x）在（0，1]单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当时，解F′（x）=0得，，
F（x）在（0，x₁]和（x₂，+∞）单调递增，在（x₁，x₂]单调递减；
当a＜0时，解F′（x）=0得，（x₂舍去），
F（x）在（0，x₁]单调递增，在（x₁，+∞）单调递减．
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的增减性，是一道综合题．