Question

过抛物线x²=4y的焦点F作倾斜角为α的直线交抛物线于P、Q两点，过点P作抛物线的切线l交y轴于点T，过点P作切线l的垂线交y轴于点N．
（Ⅰ）求证：|NF|=|TF|=|PF|；
（Ⅱ）若cosα=

4

5

，求此抛物线与线段PQ所围成的封闭图形的面积．

Answer 1

分析：（1）设处P点坐标，对抛物线方程进行求导表示出PN和PT的斜率，则直线PN的方程可得，令x=0，求得N点坐标进而可表示出|NF|，由抛物线定义可知|PF|，推断出PF|=|NF|，把x=0代入直线l的方程求得T点坐标，表示出|TF|，进而可知|NF|=|TF|=|PF|．
（2）根据cosα求得tanα，则直线PQ的斜率，则根据点斜式求得PQ的直线方程，与抛物线方程联立，求得P，Q的坐标，进而利用定积分公式表示出封闭图形的面积．

解答：解：（1）证明：如图，焦点F（0，1），设P(x0，

x02

4

)
由y′=

1

2

x，知kl=y′|_x=x0，kPN=-

2

x0

，
直线PN的方程为：y-

x02

4

=-

2

x0

(x-x0)，
令x=0，得N(0，

x02

4

+2)，点F（0，1），
则|NF|=

x02

4

+1．由抛物线定义知|PF|=

x02

4

-(-1)=

x02

4

+1，
即|PF|=|NF|，
直线l的方程为y-

x02

4

=

x0

2

(x-x0)，令x=0得到yT=-

x02

4

所以|TF|=

x02

4

+1，故|NF|=|TF|=|PF|．
（2）∵cosα=

4

5

，∴sinα=

3

5

?kPQ=tanα=

3

4

从而直线PQ的方程为y-1=

3

4

x，
与抛物线方程x²=4y联立得x²-3x-4=0?x=-1，x=4，
即P(4，4)，Q(-1，

1

4

)
所以所求的封闭图形的面积为
S=

∫

4 -1

[(

3

4

x+1)-

1

4

x2]dx=(

3

8

x2+x-

1

12

x3)|_-14．

点评：本题主要考查了抛物线的定义和定积分的运用．考查了学生综合分析问题的能力．