Question

（2008•成都三模）过抛物线y²=4x的焦点F且斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，若

AF

=4

FB

，则斜率k的值为（　　）

• A．1
• B．2
• C．

  2

  3

• D．

  4

  3

Answer 1

分析：先设点A，B的坐标，求出直线方程后与抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，求出两根，再根据向量的有关知识得到坐标的关系，进而代入抛物线的方程中得到答案

解答：解：∵抛物线 C：y²=4x焦点F（1，0），准线x=-1，则直线AB的方程为y=k（x-1）
联立方程

y=k(x-1) y2=4x

可得k²x²-2（2+k²）x+k²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

2(2+k2)

k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k2

•k=

4

k

①
∴

AF

=(1-x1，-y1)，

FB

=(x2-1，y2)
∵

AF

=4

FB

，
∴

1-x1=4(x2-1) y1=-4y2

即

x1=-4x2+5 y1=-4y2

②
①②联立可得，x2=

3k2-4

3k2

，y2=-

4

3k2

•k=-

4

3k

，代入抛物线方程y²=4x可得

16

9k2

=

3k2-4

3k2

×4
∴9k²=16
∵k＞0
∴k=

4

3

故选D

点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，方程的根与系数关系的应用，抛物线定义的应用以及向量的坐标表示的应用