Question

设y=f(x)是定义在区间［-1,1］上的函数,且满足条件:

①f(-1)=f(1)=0;

②对任意u,v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)证明对任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)证明对任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1;

(3)在区间［-1,1］上是否存在满足条件的奇函数y=f(x),且使得

若存在,请举一例;若不存在,请说明理由.

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明:由题设条件可知,当x∈［-1,1］, |f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x, 即x-1≤f(x)≤1-x. (2)证明:对任意的u,v∈［-1,1］, 当|u-v|≤1时,有|f(u)-f(v)|≤|u-v|≤1. 当|u-v|＞1时,有u·v＜0. 不妨设u＜0,则v＞0且v-u＞1, 所以|f(u)-f(v)|≤|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|≤|u+1|+|v-1|=1+u+1-v=2-(v-u)＜1. 综上可知,对任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1. (3)解析:满足所述条件的函数不存在,理由如下:假设存在函数f(x)满足条件, 则由|f(u)-f(v)|=|u-v|,u,v∈［,1］得 |f()-f(1)|=|-1|=. 又f(1)=0,所以|f()|=.① 又因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0. 由条件|f(u)-f(v)|＜|u-v|,u,v∈［0,］得 |f()|=|f()-f(0)|＜.② ①与②矛盾,所以假设不成立,即这样的函数不存在.