Question

已知函数f（x）的定义域为D．若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域为[km，kn]（k＞0），则称函数f（x）是k类函数．设函数f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k类函数，则n-m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由题意作出函数f（x）=x³+2x²+x（x≤0）图象，由图象确定n、m的取值范围，从而求n-m．

解答： 解：作出函数f（x）=x³+2x²+x（x≤0）图象如下：

令f′（x）=3x²+4x+1=0，
解得，x=-1或x=-

1

3

，
令f（x）=f（-

1

3

），即x³+2x²+x=-

4

27

，
解得，x=-

4

3

，
由存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域为[km，kn]（k＞0）知，
n=0，m≥-

1

3

或m≤-

4

3

，
则n-m的取值范围为（0，

1

3

]∪[

4

3

，+∞）．
故答案为：（0，

1

3

]∪[

4

3

，+∞）．

点评：本题考查了学生对于新知识的学习能力，同时考查了学生的作图与转化能力，属于基础题．