Question

已知在（

3	x

-

3

3 x

）ⁿ的展开式中，第6项为常数项．
（1）求n；
（2）求含x²的项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出通项，令r=5时x的指数为0，求出n．
（2）将n的值代入通项，令x的指数为2，求出展开式中含x²的项的系数．
（3）令通项中x的指数为整数，求出展开式的有理项．

解答：解：（1）通项公式为
T_r+1=C_n^rx

n-r

3

（-3）^rx-

r

3

=C_n^r（-3）^rx

n-2r

3

．
∵第6项为常数项，
∴r=5时，有

n-2r

3

=0，
∴n=10．
（2）令

n-2r

3

=2，
得r=

1

2

（n-6）=2，
∴所求的系数为C₁₀²（-3）²=405．

（3）根据通项公式，由题意，得

10-2r 3 ∈Z 0≤r≤10 r∈N

令

10-2r

3

=k（k∈Z），则10-2r=3k，r=5-

3

2

k．
∵r∈N，∴k应为偶数．故k可取-2，0，2，即r可取2，5，8，
所以第3项、第6项、第9项为有理项，它们分别为：C₁₀²（-3）²x²、C₁₀⁵（-3）⁵、C₁₀⁸（-3）⁸x^-2．

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．