Question

（本题满分14分）已知如图，椭圆方程为.P为椭圆上的动点,

F₁、F₂为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F₁作∠F₁PF₂的外角

平分线的垂线F₁M,垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．

（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知、，

试探究是否存在这样的点：是轨迹T内部的整点

（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积？

若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  

解析:

（1）当点P不在x轴上时，延长F₁M与F₂P的延长线相交

于点N,连结OM，∵, 

∴≌ ∴M是线段的中点，|----------2分

∴ = ==

∵点P在椭圆上∴＝    ∴＝4，----------------------4分

当点P在x轴上时，M与P重合

∴M点的轨迹T的方程为：.----------------------6分

（2）连结OE，易知轨迹T上有两个点

A，B满足,

分别过A、B作直线OE的两条平行线、.

∵同底等高的两个三角形的面积相等

∴符合条件的点均在直线、上.------ ----------7分

∵   ∴直线、的方程分别为：、-------------------8分

设点 （ ）∵在轨迹T内，∴--------------------------------9分

分别解与得 与 -------11分

∵∴为偶数，在上对应的

在上，对应的-----------13分

∴满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：

．------------14分