Question

17．设函数$f（x）=2{（{log_2}x）^2}-2a{log_2}x+b$，已知当$x=\frac{1}{2}$时，f（x）有最小值-8．
（1）求a与b的值；
（2）求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）令t=log₂x，则y=2t²-2at+b，结合二次函数的图象和性质，可得a与b的值；
（2）由2t²+4t-6＞0得：t＜-3，或t＞1，结合对数函数的图象和性质，可得原不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：（1）令t=log₂x，则y=2t²-2at+b的图象是开口朝上，且以直线t=$\frac{a}{2}$为对称轴的抛物线，
故当t=$\frac{a}{2}$时，函数取最小值$-\frac{{a}^{2}}{2}+b$，
∵当$x=\frac{1}{2}$时，t=log₂x=-1，
故$\frac{a}{2}$=-1，即a=-2，
$-\frac{{a}^{2}}{2}+b$=-8，即b=-6；
（2）由（1）得：t=log₂x，则y=2t²+4t-6，
由2t²+4t-6＞0得：t＜-3，或t＞1，即0＜x＜$\frac{1}{8}$，或x＞2；
故不等式f（x）＞0的解集为：（0，$\frac{1}{8}$）∪（2，+∞）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，换元法的应用，难度中档．