Question

曲线C₁是以原点O为中心，F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分．曲线C₂是以O为顶点，F₂为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C₁和C₂的交点且∠AF₂F₁为钝角，若|AF₁|=，|AF₂|=．
（I）求曲线C₁和C₂的方程；
（II）设点C是C₂上一点，若|CF₁|=|CF₂|，求△CF₁F₂的面积．

Answer 1

解：（I）设曲线C₁的方程为 ，
则2a=|AF₁|+|AF₂|= 得a=3
设A（x，y），F₁（﹣c，0），F₂（c，0），
则（x+c）²+y²= ，（x﹣c）²+y²= 
两式相减可得：xc= 
由抛物线定义可知|AF₂|=x+c=  ∴c=1，x= 或x=1，c= （舍去）
所以曲线C₁的方程为 ，C₂的方程为y²=4x（0≤x≤ ）；
（II）过点F₁作直线l垂直于x轴，过点C作直线CC₁⊥l于点C₁，
依题意知l为抛物线C₂的准线，则|CC₁|=|CF₂|
在直角△CC₁F₁中，|CF₁|= |CC₁|，∠C₁CF₁=45°
∵∠CF₁F₂=∠C₁CF₁=45°
在△CF₁F₂中，设|CF₂|=r，则|CF₁|= r，|F₁F₂|=2
由余弦定理可得2²+2r²﹣2×2× rcos45°=r²， ∴r=2
∴S_△CF1F2=