Question

已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（-1，0）与（1，0）到直线的距离之和，则e的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先将直线化成一般式的形式：bx-ay-ab=0，再利用点到直线的距离公式分别求出点（-1，0）与（1，0）到直线的距离，再解这两个距离的和大于或等于，可得不等式，将此式平方，再利用平方关系将b²=c²-a²代入所得不等式，解之可得离心率e的取值范围．
解答：解：将直线化成一般式的形式：bx-ay-ab=0
∴点（-1，0）到直线的距离为d₁=
点1，0）到直线的距离为d₂=
∵双曲线中c²=a²+b²，且a＞1
∴d₁=，d₂=
∵点（-1，0）与（1，0）到直线的距离之和，
∴s=d₁+d₂==
∴⇒
将b²=c²-a²代入上式，得
整理，得4c⁴-25a²c²+25a⁴≤0
两边都除以a⁴，得
即4e⁴-25e²+25≤0⇒（4e²-5）（e²-5）≤0
∴⇒离心率e∈
故答案为：
点评：本题以求双曲线离心率的范围为例，着重考查了双曲线的基本概念和一些简单性质，考查了点到直线距离公式和不等式的解法，属于中档题．