已知椭圆C1的中心和抛物线C2的顶点都在坐标原点O,C1和C2有公共焦点F,点F在x轴正半轴上,且C1的长轴长、短轴长及点F到C1右准线的距离成等比数列.
(Ⅰ)当C2的准线与C1右准线间的距离为15时,求C1及C2的方程;
(Ⅱ)设过点F且斜率为1的直线l交C1于P,Q两点,交C2于M,N两点.当|MN|=8时,求|PQ|的值.
分析:(Ⅰ)设C
1:
+=1(a>b>0),由题意知C
2:y
2=4cx.由条件知a=2c.C
1的右准线方程为x=4c.C
2的准线方程为x=-c.
由条件知c=3,a=6,
b=3.由此可知C
1:
+=1,C
2:y
2=12x.
(Ⅱ)由题设知l:y=x-c,设M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),P(x
3,y
3),Q(x
4,y
4).由
,得x
2-6cx+c
2=0,所以x
1+x
2=6c.而|MN|=|MF|+|FN|=x
1+x
2+2c=8c,由条件|MN|=8,得c=1.由此可知
|PQ|===.
解答:解:(Ⅰ)设C
1:
+=1(a>b>0),其半焦距为c(c>0).则C
2:y
2=4cx.
由条件知
(2b)2=2a(-c),得a=2c.C
1的右准线方程为
x=,即x=4c.C
2的准线方程为x=-c.
由条件知5c=15,所以c=3,故a=6,
b=3.
从而C
1:
+=1,C
2:y
2=12x.
(Ⅱ)由题设知l:y=x-c,设M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),P(x
3,y
3),Q(x
4,y
4).
由
,得x
2-6cx+c
2=0,所以x
1+x
2=6c.
而|MN|=|MF|+|FN|=x
1+x
2+2c=8c,由条件|MN|=8,得c=1.
由(Ⅰ)得a=2,
b=.从而,C
1:
+=1,即3x
2+4y
2=12.
由
,得7x
2-8x-8=0.所以
x3+x4=,
x3x4=-.
故
|PQ|===.
点评:本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.