Question

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程；
（2）已知动直线l过点P（3，0），交抛物线于A，B两点，是否存在垂直于x轴的直线l′被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出L′的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意，把点M（1，2）代入抛物线的方程，求得抛物线的方程和焦点坐标，再把点M（1，2），代入椭圆和双曲线的标准方程，即可求得结果；
（2）设AP的中点为C，l'的方程为：x=a，以AP为直径的圆交l'于D，E两点，DE中点为H，根据垂径定理即可得到方程|DH|2=|DC|2-|CH|2=

1

4

[(x1-3)2+y12]-

1

4

[(x1-2a)+3]2=（a-2）x₁-a²+3a，探讨该式何时是定值．

解答：解：（1）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程得p=2，
∴抛物线方程为：y²=4x；由题意知椭圆、双曲线的焦点为F（-1，0）₁，F₂（1，0），∴c=1；
对于椭圆，2a=|MF₁|+|MF₂|=

(1+1)2+22

+

(1-1)2+4

=2+2

2

；∴a=1+

2

∴a2=(1+

2

)2=3+2

2

∴b²=a²-c²=2+2

2

∴椭圆方程为：

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1
对于双曲线，2a'=||MF₁|-|MF₂||=2

2

-2
∴a'=

2

-1
∴a'²=3-2

2

∴b'²=c'²-a'²=2

2

-2
∴双曲线方程为：

x2

3-2 2

-

y2

2 2 -2

=1

（2）设AP的中点为C，l'的方程为：x=a，以AP为直径的圆交l'于D，E两点，DE中点为H．
令A(x1，y1)，∴C(

x1+3

2

，

y1

2

)
∴|DC|=

1

2

|AP|=

1

2

(x1-3)2+y12

|CH|=|

x1+3

2

-a|=

1

2

|(x1-2a)+3|
∴|DH|²=|DC|²-|CH|²=

1

4

[(x1-3)2+y12]-

1

4

[(x1-2a)+3]2
=（a-2）x₁-a²+3a
当a=2时，|DH|²=-4+6=2为定值；
∴|DE|=2|DH|=2

2

为定值
此时l'的方程为：x=2

点评：此题是个难题．本题考查了椭圆与双曲线抛物线的标准方程即简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（2）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，