Question

本题共3个小题，第1、2小题满分各5分，第3小题满分6分．
如图，某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”（点D在线段BC上），设AB长为a，BC长为b，∠BAD=θ．现规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，且把种草的面积S₁与种花的面积S₂的比值

S1

S2

称为“草花比y”．
（1）求证：正方形BEFG的边长为

atanθ

1+tanθ

；
（2）将草花比y表示成θ的函数关系式；
（3）当θ为何值时，y有最小值？并求出相应的最小值．

Answer 1

分析：（1）设正方形BEFG的边长t，则AE=a-t，利用相似比建立等式，从而可以证明；
（2）由于题目中“设∠DAB=θ，”，故可利用解三角形的知识解决“草花比y”；
（3）设tanθ=x，则y=

1

2

(x+

1

x

)括号中两式的积是定值，故利用二元不等式求其最小值．

解答：解：（1）设正方形BEFG的边长t，则AE=a-t，由

FG

AB

=

DG

DB

，得

t

a

=

atanθ-t

atanθ

（或：因为AE=tcoθ，a-t=tcoθ），解得t=

atanθ

1+tanθ

，（5分）
（2）BD=atanθ，△ABD的面积为

1

2

a2tanθ，S2=

a2tan2 θ

(1+tanθ)2

则S1=

1

2

a2tanθ -S2=

1

2

a2tanθ-

a2tan2θ

(1+tanθ)2

                          （8分）
所以y=

S1

S2

=

(1+tanθ)2

2tanθ

-1(θ∈(0，  arctan

b

a

])（10分）
（3）设tanθ=x，则y=

1

2

(x+

1

x

)
①当a≤b时，

b

a

≥1，x=1即θ=

π

4

时取最小值，最小值为1．            （14分）
②当a＞b时，x∈（0，

b

a

]，

b

a

＜1，y=

1

2

(x+

1

x

)是减函数，
所以当θ=arctan

b

a

时取最小值，最小值为

1

2

(

b

a

+

a

b

)（16分）

点评：本题的考点是在实际问题中建立三角函数模型，主要考查函数在实际生活中的应用、解三角形以及利用二元不等式求函数最值的方法，解决实际问题通常有几个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果，其中关键是建立数学模型．