Question

19．设A，B是椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上两个相异的、不关于坐标轴对称的点．求线段AB的中垂线在y轴上的截距的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可设AB所在直线方程为y=kx+m（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系得到AB的中点坐标，进一步写出AB的垂直平分线方程，得到线段AB的中垂线在y轴上的截距，结合一元二次方程的判别式大于0求得截距的范围．

解答 解：如图，
由题意可设AB所在直线方程为y=kx+m（k≠0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y可得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
△=16k²m²-（4+8k²）（2m²-2）=16k²-8m²+8．
由△＞0，得$-\sqrt{1+2{k}^{2}}＜m＜\sqrt{1+2{k}^{2}}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$-\frac{4{k}^{2}m}{1+2{k}^{2}}+2m=\frac{2m}{1+2{k}^{2}}$．
则AB的中点坐标为C（$-\frac{2km}{1+2{k}^{2}}，\frac{m}{1+2{k}^{2}}$）．
∴AB的垂直平分线方程为y-$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$=$-\frac{1}{k}（x+\frac{2km}{1+2{k}^{2}}）$．
取x=0，得y=$-\frac{m}{1+2{k}^{2}}$．
∵$-\frac{m}{1+2{k}^{2}}∈（-（1+2{k}^{2}）^{-\frac{1}{2}}，（1+2{k}^{2}）^{-\frac{1}{2}}）$，
且$（1+2{k}^{2}）^{-\frac{1}{2}}$∈（0，1），
∴线段AB的中垂线在y轴上的截距的取值范围是（-1，0）∪（0，1）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆相交问题，训练了根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质等基础知识的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．