Question

用2π平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为x，圆锥母线的长为y
（1）建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）圆锥的母线与底面所成的角大小为，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米（精确到0.01m³）

Answer 1

解：（1）∵πx²+πxy=2π
∴（4分）
∵，
∴0＜x＜1（6分）
（2）依题意，作圆锥的高SO，∠SAO是母线与底面所成的线面角，（7分）
设圆锥高h，∵，y=2x
∴
∴，（9分）
≈0.99m³（11分）
答：所制作的圆锥形容器容积0.99立方米 （12分）
分析：（1）由题意可知，制作该容器需要铁皮面积，就是圆锥的全面积，得到方程πx²+πxy=2π，分离出y即可，利用x＜y求出定义域．
（2）利用母线与底面所成的角大小为求出母线长，进一步求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式求出所制作的圆锥形容器容积．
点评：本题考查旋转体的侧面积、全面积、体积，是一道中档题．