Question

13．已知A，B（A＜B）是Rt△ABC的两锐角，若存在一正实数使sinA，sinB是方程25x²-（10+5k）x+2k+2=0的两根．求：
（Ⅰ）k的值；
（Ⅱ）cos（A-B）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知$A+B=\frac{π}{2}$，则sinB=cosA，根据韦达定理列出方程组，利用平方关系建立关于k的方程，化简求出k的值；
（Ⅱ）把k=5代入方程化简并求出方程的两个根，根据A、B的关系和范围求出sinA、sinB，再由平方关系和角的范围求出cosA和cosB，利用两角差的余弦函数求出cos（A-B）的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知：$A+B=\frac{π}{2}$，∴sinB=cosA，
∵sinA、sinB是方程25x²-（10+5k）x+2k+2=0的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinA+sinB=\frac{10+5k}{25}=\frac{2+k}{5}}\\{sinA•sinB=\frac{2+2k}{25}}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{sinA+cosA=\frac{2+k}{5}}\\{sinA•cosA=\frac{2+2k}{25}}\end{array}\right.$，
∵（sinA+cosA）²=1+2sinAcosA，
∴${（{\frac{2+k}{5}}）^2}=1+2×\frac{2+2k}{25}（k＞0）$，解得k=5．（满足△＞0）
（Ⅱ）由（1）知k=5，则方程为25x²-35x+12=0，
解得方程的两根为$\frac{3}{5}，\frac{4}{5}$，
∵$0＜A＜B＜\frac{π}{2}$，∴$sinA=\frac{3}{5}，sinB=\frac{4}{5}$，
则$cosA=\sqrt{1-si{n}^{2}A}=\frac{4}{5}$，同理$cosB=\frac{3}{5}$，
∴cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB
=$\frac{4}{5}×\frac{3}{5}+\frac{3}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{24}{25}$．

点评 本题考查诱导公式、两角和的余弦函数，平方关系，以及韦达定理的应用，注意角的范围，属于中档题题．