Question

已知椭圆C₁的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为为椭圆上一动点，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，且△PF₁F₂面积的最大值为．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆短轴的上端点为A、M为动点，且成等差数列，求动点M的轨迹C₂的方程；
（3）过点M作C₂的切线l交于C₁与Q、R两点，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆C₁的方程，利用离心率为，可得a=2b．由椭圆几何性质知，当P为椭圆的短袖端点时，△PF₁F₂的面积最大，根据△PF₁F₂面积的最大值为，建立方程，即可求得椭圆C₁的方程；
（2）用坐标表示向量，利用成等差数列，建立方程，整理可得M的轨迹C₂的方程；
（3）l的斜率存在时，设l方程代入椭圆方程，利用韦达定理，借助于坐标表示，结合l与C₂相切，可得；当l的斜率不存在时，l：x=，代入椭圆方程，求出Q，R的坐标，即可证得结论．
解答：（1）解：设椭圆C₁的方程为，∴，所以a=2b．
由椭圆几何性质知，当P为椭圆的短袖端点时，△PF₁F₂的面积最大，故，∴a=2，b=1，
故所求椭圆方程为；
（2）解：由（1）知A（0，1），F₁=（），设M（x，y）则
由题意得，∴
整理得M的轨迹C₂的方程为；
（3）证明：l的斜率存在时，设l方程为y=kx+m，代入椭圆方程并整理得（1+4k²）x²+8mkx+4m²-4=0．
△=（8km）²-16（m²-1）（1+4k²）＞0，
设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），∴
所以，
则=
又因为l与C₂相切，所以，∴5m²-4k²-4=0
所以，
当l的斜率不存在时，l：x=，代入椭圆方程解得或，此时
综上所述，
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，正确运用韦达定理是关键．