Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，E是棱BB₁的中点．
（1）求证：平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C；
（2）若我们把平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接A₁C与AC₁交于点F，连接EF，
则由条件可得EC=EA₁，则EF⊥A₁C．同理EC₁=EA，则EF⊥AC₁，∴EF⊥面AA₁C₁C．
而EF?面A₁EC，所以平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C．
（2）解：延长CE交C₁B₁的延长线于点H，
则有C₁B₁=B₁H=A₁B₁，则∠HA₁C₁=90°，且∠CA₁H=90°，
所以∠CA₁C₁为平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角的平面角．
若此正三棱柱为“黄金棱柱”，则∠CA₁C₁=60°，应有CC₁=A₁C₁，与条件AB=AA₁矛盾．
所以此三棱柱不能成为“黄金棱柱”．
分析：（1）连接A₁C与AC₁交于点F，连接EF，欲证平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C，根据面面垂直的判定定理可知在平面A₁EC内一直线与平面AA₁C₁C垂直，而根据线面垂直的判定定理可得EF⊥面AA₁C₁C，满足定理条件；
（2）延长CE交C₁B₁的延长线于点H，根据二面角平面角的定义可知∠CA₁C₁为平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角的平面角，利用反证法可证得三棱柱不能成为“黄金棱柱”．
点评：本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及二面角及其度量和反证法的运用等有关基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．