Question

已知函数（a＞0，a≠1），
（1）若a＞1，且关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；
（2）设函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），g（x）满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关．试求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）令a^x=t，x＞0，
∵a＞1，所以t＞1，
∴关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解
转化为：方程有相异的且均大于1的两根，
∴
解得，
故实数m的取值范围是．
（2）g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞）
①当a＞1时，
x≥0时，a^x≥1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈[3，+∞），
-2≤x＜0时，，g（x）=a^-x+2a^x，所以
ⅰ当即时，对?x∈（-2，0），g′（x）＞0，所以g（x）在[-2，0）上递增，
所以，
综上：g（x）有最小值为与a有关，不符合（10分）
ⅱ当即时，由g′（x）=0得，
且当时，g′（x）＜0，
当时，g′（x）＞0，
所以g（x）在上递减，在上递增，
所以=，
综上：g（x）有最小值为与a无关，符合要求．
②当0＜a＜1时，
a）x≥0时，0＜a^x≤1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈（0，3]
b）-2≤x＜0时，，g（x）=a^-x+2a^x，
所以＜0，g（x）在[-2，0）上递减，
所以，
综上：a）b）g（x）有最大值为与a有关，不符合
综上所述，实数a的取值范围是．
分析：（1）令a^x=t，将“方程f（x）=m有两个不同的正数解”转化为：“关于t的方程有相异的且均大于1的两根”，即关于t的方程t²-mt+2=0有相异的且均大于1的两根，求解．
（2）根据题意有g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），根据指数函数，分①当a＞1时，②当0＜a＜1时，两种情况分析，每种情况下，根据绝对值，再按照x≥0时和-2≤x＜0两种情况讨论．最后综合取并集．
点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，主要涉及了方程的根，函数的最值等问题，还考查了分类讨论思想，转化思想．