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    （2006•静安区二模）已知动圆过定点F(
    1
    2
    ，0)    ，且与定直线l：x=-
    1
    2
    相切．
    （1）求动圆圆心M的轨迹方程；
    （2）设点O为坐标原点，P、Q两点在动点M的轨迹上，且满足OP⊥OQ，OP=OQ，求等腰直角三角形POQ的面积；
    （3）设一直线l与动点M的轨迹交于R、S两点，若
    OR
    •
    OS
    =-1且2
    		2
    ≤|RS|＜4
    		14
    ，试求该直线l的倾斜角的取值范围．
    分析：（1）由题意设出M的坐标，利用圆心到切线的距离等于圆的半径列式得到M的轨迹；
    （2）由OP⊥OQ，分别设直线OP的方程为：y=kx，直线OQ的方程为：y=-
    1
    k
    x    ，和抛物线方程联立解得P和Q的坐标，由OP=OQ求出k的值，则点P和Q的坐标可求，然后直接代入三角形面积公式求解；
    （3）设出R和S的坐标，由
    OR
    •
    OS
    =-1得到两点的纵坐标的乘积，求出|RS|的长度（用含有两点的纵坐标表示），求解不等式2
    		2
    ≤|RS|＜4
    		14
    即可得到k的范围，从而得到直线的倾斜角的范围．
    解答：解：（1）设动圆圆心M的坐标为M（x，y），因为动圆过定点F(
    1
    2
    ，0)    ，且与定直线l：x=-
    1
    2
    相切，
    所以M到直线l：x=-
    1
    2
    的距离等于M到F的距离，
    于是有(x+
    1
    2
    )2=(x-
    1
    2
    )2+y2
    化简得y2=2x，即动圆圆心M的轨迹方程为y2=2x；
    （2）因为OP⊥OQ，设直线OP的方程为：y=kx，
    则直线OQ的方程为：y=-
    1
    k
    x    ，
    解得点P、Q的坐标分别为(
    2
    k2
    ，
    2
    k
    )，(2k2，2k3)    ，
    由OP=OQ，得
    4
    k2
    +
    4
    k4
    =4k4+4k6    ，k8=1，可得点P、Q坐标分别为（2，2），（2，-2）
    所以，S△POQ=
    1
    2
    |OP|2=4    ；
    （3）设R(
    y12
    2
    ，y1)，S(
    y22
    2
    ，y2)    ，由
    OR
    •
    OS
    =-1    解得y1y2=-2，|RS|=
    (y12-y22)2
    4
    +(y1-y2)2
    =
    		(y1+y2)2(y1-y2)2+4(y1-y2)2
    2

    ⅰ）直线与x轴垂直时，R(1，
    		2
    )，S(1，-
    		2
    )    ，符合
    ⅱ）设RS斜率为k，倾斜角为θ，y1+y2=
    2
    k
    ，|RS|=2
    1
    k4
    +
    3
    k2
    +2
    ，
    由2
    		2
    ≤|RS|＜4
    		14
    ，得2≤
    1
    k4
    +
    3
    k2
    +2≤56    ，
    解得k≥
    		6
    6
    或k≤-
    		6
    6
    ．
    所以，直线倾斜角θ的取值范围是π-arctan
    		6
    6
    ≥θ≥arctan
    		6
    6
    ．
    点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了学生的计算能力属于压轴题．
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