Question

12．已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为$\sqrt{2}$，且过点（4，-$\sqrt{10}$），点M（3，m）在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2）求证：MF₁⊥MF₂；
（3）求△F₁MF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）先求出a，b的关系，设出双曲线的方程，求出参数的值，从而求出双曲线方程即可；
（2）先表示出MF₁和MF₂的斜率，从而求出m的值，进而求出斜率的乘积为-1，证出结论；
（3）分别求出MF₁和MF₂的长度，从而求出三角形的面积即可．

解答 解：（1）∵$e=\sqrt{2}$，∴$\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，∵c²=b²+a²∴a²=b²…（1分）
∴可设双曲线方程为x²-y²=λ（λ≠0）．      …（2分）
∵双曲线过点$（4，-\sqrt{10}）$，∴16-10=λ，即λ=6…（3分）
∴双曲线方程为x²-y²=6．…（4分）
（2）由（1）可知，在双曲线中$a=b=\sqrt{6}$，∴$c=2\sqrt{3}$，
∴${F_1}（-2\sqrt{3}，0），{F_2}（2\sqrt{3}，0）$．               …（5分）
∴${k_{M{F_1}}}=\frac{m}{{3+2\sqrt{3}}}，{k_{M{F_2}}}=\frac{m}{{3-2\sqrt{3}}}$，…（6分）
又∵点M（3，m）在双曲线上，∴9-m²=6，m²=3．
∴${k_{M{F_1}}}•{k_{M{F_2}}}=\frac{m}{{3-2\sqrt{3}}}×\frac{m}{{3+2\sqrt{3}}}=-\frac{m^2}{3}=-1$…（7分）
∴MF₁⊥MF₂…（8分）
（3）由（2）知MF₁⊥MF₂，
∴△MF₁F₂为直角三角形．
又${F_1}（-2\sqrt{3}，0），{F_2}（2\sqrt{3}，0）$，$m=±\sqrt{3}$，$M（3，\sqrt{3}）$或$M（3，-\sqrt{3}）$，
由两点间距离公式得$|M{F_1}|=\sqrt{{{（-2\sqrt{3}-3）}^2}+{{（0-\sqrt{3}）}^2}}=\sqrt{24+12\sqrt{3}}$，
$|M{F_1}|=\sqrt{{{（2\sqrt{3}-3）}^2}+{{（0-\sqrt{3}）}^2}}=\sqrt{24-12\sqrt{3}}$，…（10分），
${S_{△{F_1}M{F_2}}}=\frac{1}{2}|{M{F_1}}||{M{F_2}}|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{24+12\sqrt{3}}•\sqrt{24-12\sqrt{3}}=\frac{1}{2}×12=6$．
即△F₁MF₂的面积为6．…（12分）．

点评 本题考察了双曲线问题，考察斜率问题，考察学生的计算能力，是一道中档题．