Question

如图，从点M（x₀，2）发出的光线沿平行于抛物线y²=4x的轴的方向射向此抛物线上的点P，反射后经焦点F又射向抛物线上的点Q，再反射后沿平行于抛物线的轴的方向射向直线l：x-2y-7=0上的点N，再反射后又射回点M，则x₀=

 

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Answer 1

分析：由题意可得抛物线的轴为x轴，抛物线的焦点F（1，0），MP所在的直线方程为y=2，从而可求P（1，2），Q（1，-2），N（3，-2），再根据直线的到角公式可求直线MN的斜率k，写出直线MN的方程，再令y=2可求答案．

解答：解：由题意可得抛物线的轴为x轴F（1，0），∴MP所在的直线方程为y=2
在抛物线方程y²=4x中令y=2可得x=1即P（1，2）
从而可得Q（1，-2），N（3，-2）
设MN所在的直线方程的斜率为k，则根据直线的到角公式可得

k- 1 2

1+ 1 2 k

=

1

2

解方程可得，k=

4

3

即直线MN的方程为y+2=

4

3

(x-3)
令y=2可得x₀=6
故答案为：6

点评：本题主要考查了抛物线的性质的应用，直线方程的夹角（到角）公式的应用，直线方程的求解，解决问题的关键是要熟练掌握相关的性质并能灵活应用．