Question

在△ABC中，顶点A，B，C所对三边分别是a，b，c已知B（-1，0），C（1，0），且b，a，c成等差数列．
（I）求顶点A的轨迹方程；
（II） 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P（0，-）的直线l，使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（I）由题知得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．
由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为．
∴顶点A的轨迹方程为．…（4分）
（II）由消去y整理得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0．
∴△=（8km）²-4（3+4k²）×4（m²-3）＞0，
整理得：4k²＞m²-3．①
令M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，
设MN的中点P（x₀，y₀），则，，…（7分）
i）当k=0时，由题知，m∈（-，0）．…（8分）
ii）当k≠0时，直线l方程为，
由P（x₀，y₀）在直线l上，得，∴2m=3+4k²．②
把②式代入①中可得2m-3＞m²-3，解得0＜m＜2．
又由②得2m-3=4k²＞0，解得m＞．
∴．
验证：当（-2，0）在y=kx+m上时，得m=2k代入②得4k²-4k+3=0，k无解，即y=kx+m不会过椭圆左顶点．
同理可验证y=kx+m不过右顶点．
∴m的取值范围为（，2）．…（11分）
综上，当k=0时，m的取值范围为（-，0）；当k≠0时，m的取值范围为（，2）．…（12分）
分析：（I）由B（-1，0），C（1，0），且b，a，c成等差数列，可得|AC|+|AB|=4（定值），利用椭圆定义，可得顶点A的轨迹方程；
（II）由消去y整理，利用韦达定理表示出中点坐标，再分类讨论，利用点M、N关于l对称，即可求实数m的取值范围．
点评：本题考查椭圆的定义与标准方程，考查对称性，考查直线与椭圆的位置关系，正确表示中点坐标是关键．