Question

请阅读以下材料，然后解决问题：
①设椭圆的长半轴长为m短半轴长为b，则椭圆的面积为πab
②我们把由半椭圆C₁：

y2

b2

+

x2

c2

=1 （x≤0）与半椭圆C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （x≥0）合成的曲线称作“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0
如图，设点F₀，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，若△F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，则上述“果圆”的面积为：

3 + 7

4

π

．

Answer 1

分析：根据△F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，得半椭圆C₁的半焦距为

1

2

且半椭圆C₂的半焦距c=

3

2

，由此结合椭圆基本量的平方关系，建立关系式算出a=

7

2

，b=1，c=

3

2

，结合椭圆的面积公式加以计算，即得该“果圆”的面积．

解答：解：根据题意，得
∵△F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，
∴半椭圆C₁：

y2

b2

+

x2

c2

=1 （x≤0）中，半焦距c₁=

1

2

，即

b2-c2

=

1

2

…①
且半椭圆C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （x≥0）中，c=

a2-b2

=

3

2

…②
联解①②，得a=

7

2

，b=1，c=

3

2

根据椭圆的面积公式，得半椭圆C₁的面积为S₁=

1

2

πbc=

3

4

π
半椭圆C₂的面积为S₂=

1

2

πab=

7

4

π
∴“果圆”的面积为S₁+S₂=

3 + 7

4

π
故答案为：

3 + 7

4

π

点评：本题给出椭圆的面积公共，在已知“果圆”的定义下求它的面积，着重考查了椭圆的定义与标准方程和组合图形面积的求法等知识，属于中档题．