Question

某公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元至1000万元的投资收益．为加快开发进程，特制定了产品研制的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，但奖金总数不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
现给出两个奖励模型：①y=

x

100

+2；②y=4lgx-3．
试分析这两个函数模型是否符合公司要求？

Answer 1

分析：由题意得到公司要选择的函数模型所要满足的条件，然后对两个函数模型逐一分析，对三个条件全部满足的选取，三个条件有一个不满足则舍弃．

解答：解：设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：
（1）f（x）在区间[10，1000]上是增函数；
（2）?x∈[10，1000]，f（x）≤9恒成立；
（3））?x∈[10，1000]，f（x）≤

x

5

恒成立．
对于模型①，当x∈[10，1000]时，f(x)=

x

100

+2是增函数，
f(x)max=f(1000)=

1000

100

+2=12＞9．
故该模型不符合公司要求．
对于，模型②，当x∈[10，1000]时，f（x）=4lgx-3是增函数，且
f（x）_max=f（1000）=4lg1000-3=9≤9，以下检验是否符合第（3）个要求．
设g(x)=4lgx-3-

x

5

，则g′(x)=

4lge

x

-

1

5

．
当x≥10时，g′(x)=

4lge

x

-

1

5

≤

4lge

10

-

1

5

=

lge2-1

5

＜0，
∴g（x）在∈[10，1000]上为减函数，
从而g（x）≤g（10）=-1＜0，即f(x)＜

x

5

恒成立．
∴函数模型②符合公司要求．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了函数最值的求法，是中档题．