Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为4$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两个不同点，O为坐标原点，若△OPQ的面积为$\sqrt{3}$，证明：y₁²+y₂²为定值．

Answer 1

分析 （1）由离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a=2c，2ab=4$\sqrt{3}$，由a²=b²+c²，解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，即可求得椭圆C的方程；
（2）直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，x₁=x₂，y₁=-y₂，由三角形面积公式即可求得|x₁|和|y₁|的值，可知y₁²+y₂²均为定值，当直线斜率存在，设出直线方程代入椭圆方程，利用△＞0及韦达定理求得x₁+x₂和x₁•x₂的关系，利用点到直线的距离公式和弦长公式求得△OPQ的面积，求得a和k的关系式，即可证明x₁²+x₂²=4，利用y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，即可求得y₁²+y₂²为定值；

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a=2c，
椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为4$\sqrt{3}$，即2ab=4$\sqrt{3}$，
由a²=b²+c²，解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）证明：当直线l⊥x轴时，$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}=1$，△OPQ的面积S=$\frac{1}{2}$•丨x₁丨•丨2y₁丨=$\sqrt{3}$，
解得：丨x₁丨=$\sqrt{2}$，丨y₁丨=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故y₁²+y₂²=3
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，m≠0，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
△=（8kb）²-4（3+4k²）•（4b²-12）=48（3+4k²-b²）＞0，即3+4k²＞b²，
由韦达定理可知x₁+x₂=-$\frac{8kb}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{b}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴丨PQ丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-{b}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，
点O到直线l的距离为d=$\frac{丨b丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则△OPQ的面积S=$\frac{1}{2}$•d•丨PQ丨=$\frac{1}{2}$•$\frac{丨b丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•4$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-{b}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$=2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-{b}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，
即2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-{b}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$=$\sqrt{3}$，整理得：3+4k²=b²，满足△＞0，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（-$\frac{8kb}{3+4{k}^{2}}$）²-2×$\frac{4{b}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=4，
y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，
∴y₁²+y₂^2₌k²（x₁²+x₂²）+2kb（x₁+x₂）+2b²=4k²-8k²+2b²=3，
综上可知：y₁²+y₂^2₌3均为定值．

点评 本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式及三角形面积公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．