Question

过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.

Answer 1

所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1

解析:

解法一: 由e=,得,从而a²=2b²,c=b.

设椭圆方程为x²+2y²=2b²,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在椭圆上.

则x₁²+2y₁²=2b²,x₂²+2y₂²=2b²,两式相减得，(x₁²－x₂²)+2(y₁²－y₂²)=0,

设AB中点为(x₀,y₀),则k_AB=－,又(x₀,y₀)在直线y=x上，y₀=x₀,于是－=－1,k_AB=－1,设l的方程为y=－x+1.

右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),

由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)²=2b²,b²=.

∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1.

解法二: 由e=,从而a²=2b²,c=b.

设椭圆C的方程为x²+2y²=2b²,l的方程为y=k(x－1),

将l的方程代入C的方程，得(1+2k²)x²－4k²x+2k²－2b²=0,则x₁+x₂=,y₁+y₂=k(x₁－1)+k(x₂－1)=k(x₁+x₂)－2k=－.

直线l: y=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=－1.

若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.