Question

已知z=t+3+3

3

i，其中t∈C，且

t+3

t-3

为纯虚数．
（1）求t的对应点的轨迹；
（2）求|z|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）设出复数t的代数形式，代入

t+3

t-3

利用复数的除法运算整理，由实部等于0且徐步部等于0可求t得轨迹方程；
（2）根据t的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去（-3，0），（3，0）两点，又z=t+3+3

3

i，利用复数加法的几何意义可求|z|的最大值和最小值．

解答：解：（1）设t=x+yi（x，y∈R），
则

t+3

t-3

=

x+3+yi

x-3+yi

=

[(x+3)+yi][(x-3)-yi]

(x-3)2+y2

=

(x2+y2-9)-6yi

(x-3)2+y2

，
∵

t+3

t-3

为纯虚数，
∴

x2+y2-9=0 y≠0

，即

x2+y2=9 y≠0

．
∴t的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去（-3，0），（3，0）两点；
（2）由t的轨迹可知，|t|=3，
∴|z-(3+3

3

)i|=3，圆心对应3+3

3

i，半径为3，
∴|z|的最大值为：|3+3

3

i|+3=9，
|z|的最小值为：|3+3

3

i|-3=3．

点评：本题考查了复数的基本概念，考查了轨迹方程的求法，考查了圆的标准方程，训练了复数加法的几何意义，解答的关键是对轨迹方程中不满足条件点的取舍，是中档题．