Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，二面角B-AA₁-C₁的大小等于60°，B到面AC₁的距离等于

3

，C₁到面AB₁的距离等于2

3

，则直线BC₁与直线AB₁所成角的正切值等于（　　）

• A、

  7

• B、

  6

• C、

  5

• D、2

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：运用线面垂直的性质结合二面角的定义可得二面角B-AA₁-C₁的平面角即为∠BAC，且为60°，由面面垂直的性质定理可得B到AC的距离为

3

，C到AB的距离为2

3

，即可得到BC=2

3

，AB=2，∠ABC=90°，再由向量
BC₁与AB₁的数量积及夹角公式求出余弦值，由同角的平方关系和商数关系，即可计算得到正切值．

解答： 解：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，则AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，
则二面角B-AA₁-C₁的平面角即为∠BAC，且为60°，
B到面AC₁的距离等于

3

，由于侧面和底面垂直，
由面面垂直的性质定理可得，即为B到AC的距离为

3

，
同样C₁到面AB₁的距离等于2

3

，即为C到AB的距离为2

3

，
在三角形ABC中，可得BC=2

3

，AB=2，∠ABC=90°，
则

AB1

•

BC1

=（

BB1

-

BA

）•（

BB1

+

BC

）=

BB1

2+

BB1

•

BC

-

BA

•

BB1

-

BA

•

BC

=4+0-0-0=4，
|

AB1

|=

4+4

=2

2

，|

BC1

|=

4+12

=4，
则cos＜

AB1

，

BC1

＞=

AB1 • BC1

| AB1 |•| BC1|

=

4

2 2 ×4

=

2

4

．
则sin＜

AB1

，

BC1

＞=

1- 2 16

=

14

4

，
即有tan＜

AB1

，

BC1

＞=

14 4

2 4

=

7

．
故选：A．

点评：本题考查异面直线所成角的求法：向量法，考查二面角的平面角的定义，考查空间直线和平面的位置关系，考查运算能力，属于中档题．