Question

在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长超过圆内接等边三角形的边长的可能性（概率）是多少？

     

Answer 1

解法一：任何弦交圆周两点，不失一般性先固定其中一点于圆周上，以此点为顶点作一等边三角形，显然只有通过此三角形内的弦才满足要求，这种弦的另一端跑过的弧长为整个圆周的，故所求的概率为.

解法二：弦长跟它与圆心的距离有关，当且仅当它与圆心的距离小于时，其长才大于，因此所求的概率为.

解法三：弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径为的同心圆时，弦长大于，此小圆的面积为大圆面积的，故概率等于.

    说明：同一问题有三种不同的答案，原因在于取弦时采用不同的等可能性假定！在第一种解法中，假定端点在圆周上均匀分布，在第二种解法则假定弦的中点在直径上均匀分布，而在第三种解法又假定弦的中点在圆内均匀分布.这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的.因此在使用术语“随机”“等可能”“均匀”时，应明确指明其含义；这又因试验而异，须细细体会.