Question

1．已知平面内一动点P到点F（2，0）的距离与点P到直线x=-1的距离的差为1
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F且斜率为1的直线l与轨迹C交于AB两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）由已知：点P到F（2，0）的距离与它到直线x=-2的距离相等，所以点P的轨迹C是以F为焦点，x=-2为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．
（2）设交点A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由抛物线的定义可得|AF|=d_A=x₁+2，|BF|=d_B=x₂+2，于是|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+4，由此能求出线段AB的长．

解答 解：（1）∵平面内一动点P到点F（2，0）的距离与点P到直线x=-1的距离的差为1，
∴点P到F（2，0）的距离与它到直线x=-2的距离相等，
∴动点P的轨迹为抛物线，方程为y²=8x；
（2）设交点A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由抛物线的定义可得|AF|=d_A=x₁+2，|BF|=d_B=x₂+2…（6分）
于是|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+4
由条件知直线l方程为：y=x-2代入y²=8x，
得（x-2）²=8x
即x²-12x+4=0，
∴x₁+x₂=12，
故|AB|=x₁+x₂+4=16．

点评 本题主要考查轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强．