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(本小题满分13分)设椭圆的右焦点为,直线轴交于点,若(其中为坐标原点).

(1)求椭圆的方程;

(2)设是椭圆上的任意一点,为圆的任意一条直径(为直径的两个端点),求的最大值.

 

【答案】

(1)椭圆的方程为. (2)的最大值为11.

【解析】(1) 由题设知,,由,得,从而得到关于a的方程,求出a值.

(2)设圆的圆心为,则 

            ,

从而把的最大值转化为求的最大值,再利用两点间的距离公式再借助P在椭圆上,可以把转化为关于P的横坐标x的函数问题来解决.

(1)由题设知,,………………………1分

,得.………………3分

解得.所以椭圆的方程为.…………………4分

(2)方法1:设圆的圆心为

 ……………………6分

            ……K…………………………7分

.………………………………………8分

从而求的最大值转化为求的最大值.………………………9分

因为是椭圆上的任意一点,设,……………………………10分

所以,即.…………………………11分

因为点,所以.……………12分

因为,所以当时,取得最大值12.……………13分

所以的最大值为11.……………………………14分

 

方法2:设点

因为的中点坐标为,所以 …………………………6分

所以……………………7分

          

          

           .……………………………9分

因为点在圆上,所以,即.…………10分

因为点在椭圆上,所以,即.………………11分

所以.……………………………12分

因为,所以当时,.…………………14分

方法3:①若直线的斜率存在,设的方程为,……………6分

,解得.………………………7分

因为是椭圆上的任一点,设点

所以,即.…………………8分

所以 ………9分

所以

                              ………10分

因为,所以当时,取得最大值11.……………11分

②若直线的斜率不存在,此时的方程为

,解得

不妨设,.……………………5u…………………12分

因为是椭圆上的任一点,设点

所以,即

所以

所以

因为,所以当时,取得最大值11.………13分

综上可知,的最大值为11.…………………………………14分

 

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