Question

已知命题p：A={x|

ax-4

x-2

＞0}，命题q：B={x|m＜x＜2m+1}．
（1）若a≥2，求关于x的不等式

ax-4

x-2

＞0的解集A；
（2）若a=-2且￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分a=2和a＞2两种情况分别解对应的不等式进行求解；
（2）由逆否命题的等价性把问题转化为q是p的充分不必要条件即：B为A的真子集，然后由集合的包含关系进行求解．

解答：解：（1）当a=2时，

2x-4

x-2

＞0，A={x|x≠2}…（2分）
当a＞2时，

ax-4

x-2

＞0，得x＜

4

a

或x＞2，A={x|x＜

4

a

或x＞2}…（4分）
（2）a=-2，

-2x-4

x-2

＞0得

x+2

x-2

＜0，∴A={x|-2＜x＜2}…（6分）
命题：若┒p是┑q的充分不必要条件的等价命题即逆否命题为：q是p的充分不必要条件．
∴B为A的真子集…（7分）
当B=∅时，得m≥2m+1，∴-1≥m…（9分）
当B≠∅时，得

m＜2m+1 -2≤m 2m+1≤2

∴-1＜m≤

1

2

…（11分）
∴实数m的取值范围是m≤-1或-1＜m≤

1

2

，即m≤

1

2

…（12分）

点评：本题为充要条件的问题，利用不等式来解决集合间的关系是解决问题的关键，属基础题．