Question

1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0．
（1）求A；
（2）若b+c=4，求△ABC的周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；
（2）利用余弦定理结合基本不等式，可求△ABC的周长的最小值．

解答 解：（1）∵acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，
∴由正弦定理可得sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=0，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sin（A+C）+sinC，
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
∴sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$，
∴A-30°=30°，∴A=60°；
（2）由余弦定理a²=（b+c）²-3bc≥$\frac{1}{4}$（b+c）²（当且仅当b=c时取等号），
∴a≥2，
∴a+b+c=a+4≥6，
∴△ABC的周长的最小值为6．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．