Question

（2011•北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，

OA

=(4，0)，

OB

=(1，

3

)，点C满足∠OCB=

π

4

．
（Ⅰ）求

OB

•

BA

；
（Ⅱ）证明：|

OC

|=2

2

sin∠OBC；
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得

BC

=λ

BA

成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

BA

=

OA

-

OB

，再结合数量积公式，即可求

OB

•

BA

；
（Ⅱ）利用面积相等，结合数量积公式，化简得证；
（Ⅲ）假设存在实数λ，使得

BC

=λ

BA

成立，则

OC

=(3λ+1，

3

-

3

λ），

BC

=(3λ，-

3

λ)，结合∠OCB=

π

4

，利用数量积公式，可求λ的值．

解答：（Ⅰ）解：∵

OA

=(4，0)，

OB

=(1，

3

)，∴

BA

=

OA

-

OB

=（3，-

3

）
∴

OB

•

BA

=3-3=0；
（Ⅱ）证明：∵

1

2

|

OC

|•|

CB

|sin∠OCB=

1

2

|

OB

|•|

CB

|sin∠OBC，
∴|

OC

|×

2

2

=2sin∠OBC
∴|

OC

|=2

2

sin∠OBC；
（Ⅲ）解：假设存在实数λ，使得

BC

=λ

BA

成立，则

OC

=(3λ+1，

3

-

3

λ），

BC

=(3λ，-

3

λ)
∴cos

π

4

=

OC • BC

| OC || BC |

=

12λ2

12λ2+4 × 12λ2

=

2

2

∴λ=±

3

3

．
即存在实数λ=±

3

3

，使得

BC

=λ

BA

成立

点评：本题考查向量知识的运用，考查向量的减法，考查向量的数量积运算，综合性强．