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设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于3,且各项的和为972,则这样的数列共有(  )
分析:设首项为a,公差为d,项数为n,则各项和为na+
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n(n-1)d=972,所以n[2a+(n-1)d]=2×972,即n为2×972的大于3的约数.由于数列的首项及公差均为非负整数分类讨论可得答案.
解答:解:设首项为a,公差为d,项数为n,则各项和为na+
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n(n-1)d=972
所以n[2a+(n-1)d]=2×972,即n为2×972的大于3的约数.又2×972的大于3的约数共有1、2、97、2×97、972、2×972分别进行讨论:
(1)若n=972,则2a+(972-1)d=2,由于数列的首项及公差均为非负整数,若d=0,可得a=1;若d≥1则a<0不合题意,故有一解;
(2)同理若n=97,则2a+96d=194,若d=0,则a=97;若d=1,则a=49;d若=2,则a=1.故有三解;
(3)同理若n=2×97,或n=2×972,无解.
(4)若n=1,或2时,n<3不合题意.故符合题意的共4种情况.
故选C
点评:本题以等差数列为载体考查分类讨论及数列的求和问题,属中档题.
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4
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A.2个
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