Question

20．若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，AB₁与底面ABCD成45°角，则D₁到平面ACB₁的距离为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． 1
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 说明几何体是正方体，然后证明BD₁⊥平面AB₁C，再计算BO的长，即可求得D₁到平面ACB₁的距离．

解答 解：正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，AB₁与底面ABCD成45°角，
可知几何体是正方体，
连接BD₁，BD，则AC⊥BD，AC⊥B₁B
∵BD∩B₁B=B，∴AC⊥平面BD₁，
∵BD₁?平面BD₁，∴AC⊥BD₁，
同理AB₁⊥BD₁，
∵AC∩AB₁=A，∴BD₁⊥平面AB₁C
设垂足为O，在三棱锥B₁-ABC中，$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a×a×a=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2a²×BO
∴BO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a
∵BD₁=$\sqrt{3}$a
∴D₁O=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a
即D₁到平面ACB₁的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a
故选：C．

点评 本题考查点到面的距离的计算，考查线面垂直的证明与三棱锥的体积，属于中档题．