Question

设直线m与平面α相交但不垂直，则下列所有正确的命题序号是    ．
①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直；
②与直线m平行的直线不可能与平面α垂直；
③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行；
④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．

Answer 1

【答案】分析：作出直线m在平面α内的射影，可以证出在α内与这个射影垂直的直线必定与斜线m垂直．由此图形出发，结合空间对四个命题逐个加以判断，则不难得到正确选项．
解答：解：对于①，设m与平面α相交于点A，在m上取一点P，作PO⊥α于A点
在α内作直线l与AO垂直，则
∵PO⊥α，l⊆α，∴l⊥PO
∵l⊥AO，PO∩AO=O，∴l⊥平面PAO
∵m⊆平面PAO，∴l⊥m
因为在平面α内与直线l平行的直线，都与m垂直，所以平面α内有无数条直线与直线m垂直，故①不正确；
对于②，因为两条平行线中有一条与已知平面垂直，则另一条也与已知平面垂直，故与平面α的斜线m平行的直线也是平面α的斜线，故②正确；
对于③，将图中的直线l平移到平面α外的直线n，则直线n与m垂直且与平面α平行，故③不正确；
对于④，如图的平面PAO就是与平面α的一个垂直平面，若一个平面β与平面PAO平行，则β与直线m平行且与平面α垂直，
故④不正确．
故答案为：②
点评：本题以命题真假的判断为载体，对空间直线与平面的位置关系加以判断，考查了线面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质等知识，属于基础题．