练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    证明：（1）
    n
    k=0
    2k
    C
    k
    n
    =3n    （n∈N）；
    （2）2C2n0+C2n1+2C2n2+C2n3+…+C2n2n-1+2C2n2n=3•22n-1（n∈N）；
    （3）2＜(1+
    1
    n
    )n＜3(n∈N)    ．
    分析：（1）从右边开始分析，将3看成1+2，由二项式定理展开可得左式，即原等式可得证明；
    （2）观察左式，可将左式转化为（C2n0+C2n1+C2n3+…+C2n2n）+（C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n），由二项式系数的性质，（C2n0+C2n1+C2n3+…+C2n2n）=22n，（C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n）=22n-1，相加可得右式，即原等式可得证明；
    （3）由二项式定理，将（1+
    1
    n
    ）n展开可得1+
    1
    n
    Cn1+
    1
    n2
    Cn2+…
    1
    nn
    +Cnn=1+1++
    1
    n2
    Cn2+…
    1
    nn
    +Cnn；分析可得：（1+
    1
    n
    ）n＞2；另一方面，用放缩法分析，，（1+
    1
    n
    ）n=1+1+
    1
    2!
    n-1
    n
    +
    1
    3!
    (n-1)(n-2)
    n2
    +…+
    1
    n!
    •
    1
    nn-1
    •（n-1）（n-2）…2•1＜1+1+
    1
    2!
    +
    1
    3!
    +…+
    1
    n!
    ＜1+1+
    1
    2
    +
    1
    22
    +…+
    1
    2n-1
    ；整理可得右式的证明，综合可证得原不等式．
    解答：证明：（1）右式=3n=（1+2）n=C2020+C2121+C2222+…+C2n2n=
    n
    n-1
    2k
    C
    k
    n
    =左式；
    故得证；
    （2）左式=（C2n0+C2n1+C2n3+…+C2n2n）+（C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n）=22n+22n-1=3•22n-1=右式；
    故得证；
    （3）由二项式定理，（1+
    1
    n
    ）n=1+
    1
    n
    Cn1+
    1
    n2
    Cn2+…
    1
    nn
    +Cnn=1+1+
    1
    n2
    Cn2+…
    1
    nn
    +Cnn；①
    由①知，（1+
    1
    n
    ）n＞2；
    另一方面，（1+
    1
    n
    ）n=1+1+
    1
    2!
    n-1
    n
    +
    1
    3!
    (n-1)(n-2)
    n2
    +…+
    1
    n!
    •
    1
    nn-1
    •（n-1）（n-2）…2•1
    ＜1+1+
    1
    2!
    +
    1
    3!
    +…+
    1
    n!
    ＜1+1+
    1
    2
    +
    1
    22
    +…+
    1
    2n-1

    ＜1+
    1
    1-
    1
    2
    =3；
    综合即2＜（1+
    1
    n
    ）n＜3．
    点评：本题考查二项式定理的应用，涉及等式、不等式的证明；注意观察原等式或不等式的形式，结合二项式定理，进而对原题题干进行恒等变形，最终证明命题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （Ⅰ）设f（x）=（1+x）n，f（x）展开式中x2的系数是10，求n的值；
    （Ⅱ）利用二项式定理证明：
    n
    k=1
    (-1)k+1k
    C
    k
    n
    =0    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=lnx，g（x）=
    3
    2
    -
    a
    x
    （a为实常数）
    （1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
    （2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[
    1
    2
    ，1]上有解，求实数a的取值范围；
    （3）证明：
    5
    4
    n+
    1
    60
    ＜
    n
    k=1
    [2f(2k+1)-f(k)-f(k+1)]＜2n+1，n∈N*．    （参考数据：ln2≈0.6931）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如果实数x，y，t满足|x-t|≤|y-t|，则称x比y接近t．
    （Ⅰ）设a为实数，若a|a|比a更接近1，求a的取值范围；
    （Ⅱ）f（x）=ln
    x-1
    x+1
    ，证明：
    n
    k=2
    f(k)    比
    2-n-n2
    		2n(n+1)
    更接近0（k∈Z）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}中，a1=t，a2=t2（t＞0且t≠1）．若x=
    		t
    是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一个极值点．
    （Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）记bn=2(1-
    1
    an
    )    ，当t=2时，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞2008的n的最小值；
    （Ⅲ）当t=2时，求证：对于任意的正整数n，有 
    n
    k=1
    2k
    (ak+1)(ak+1+1)
    ＜
    1
    3
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•成都一模）已知函数f(x)=
    1
    2
    x2-mln
    		1+2x
    +mx-2m    ，m＜0．
    （I）当m=-1时，求函数y=f(x)-
    x
    3
    的单调区间；
    （II）已知m≤-
    e
    2
    （其中e是自然对数的底数），若存在实数x0∈(-
    1
    2
    ，
    e-1
    2
    ]    ，使f（x0）＞e+1成立，证明：2m+e+l＜0；
    （III）证明：
    n
    k=1
    8k-3
    3k2
    ＞ln
    (n+1)(n+2)
    2
    (n∈N*)    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案