Question

银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；
乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．
两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：1.1¹⁰=2.594，1.3¹⁰=13.796）

Answer 1

分析：由题意可知，甲方案中增长利率是定值，所以每年利润数是以1为首项，以1.3为公比的等比数列，再由等比数列的前n项和公式求出10年利润总数；乙方案中每年增长的利润是一定值，所以每年利润数是以1为首项，以0.5为公差的等差数列，再由等差数列的前n项和公式求出10年利润总数，然后比较两种情况的数值．

解答：解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：1+(1+30%)+(1+30%)2++(1+30%)9=

1.310-1

1.3-1

=42.62（万元）
到期时银行的本息和为10×（1+10%）¹⁰=10×2.594=25.94（万元）
∴甲方案扣除本息后的净获利为：42.62-25.94≈16.7（万元）
乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：1+(1+0.5)+(1+2×0.5)++(1+9×0.5)=

10(1+5.5)

2

=32.50（万元）
贷款的本利和为：1.1[1+(1+10%)++(1+10%)9]=1.1×

1.110-1

1.1-1

=17.53（万元）
∴乙方案扣除本利后的净获利为：32.50-17.53=15.0（万元）
所以，甲方案的获利较多．

点评：数列应用问题主要涉及产品增长率，银行利率，浓度配比，分期付款等问题，解题时建立数列模型，应用数列的相应知识进行求解．要注意审题，理解题中的实际意义，选择合适的模型，将实际问题转化为数列问题．