Question

某人有四种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）要在如图所示的6个点A，B，C，A₁，B₁，C₁上各装一个灯泡，要求同一条线段的两端的灯泡不同色，则至少用了三种颜色的灯泡的安装方法共有

264

种．（用数字作答）

Answer 1

分析：由于至少用三种颜色，故利用分类计数原理可将任务分为两类：第一类，用了三种颜色安装；第二类，用了四种颜色安装，最后将两类的方法数求和即可，在每类中计数时，可利用分步计数原理，第一步安排A、B、C三点，因为它们一定不同色，第二步，安排A₁点，第三步，安排B₁、C₁点，将三步方法数相乘．

解答：解：∵至少用了三种颜色的灯泡安装．
∴可能用了三种颜色安装，可能用了四种颜色安装．
由分类计数原理，可分两类：
第一类，用了三种颜色安装，
        第一步，为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A₄³种选法；第二步，为A₁点选一种颜色共有不同于A点的2种选法；第三步，为B₁、C₁选灯泡，共有1种选法
∴第一类共有A₄³×2×1=48种方法．
第二类，用了四种颜色安装，
         第一步，为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A₄³种选法；第二步，为A₁点选一种颜色共有不同于A点的3种选法；第三步，为B₁、C₁选灯泡：若B₁与A同色，则C₁只能选B点颜色；若B₁与C同色，则C₁有A、B处两种颜色可选．故为B₁、C₁选灯泡共有3种选法
∴第二类共有A₄³×3×3=216种方法．
综上所述，至少用了三种颜色的灯泡的安装方法共有48+216=264种方法
故答案为 264

点评：本题考查了分类计数原理与分步计数原理的运用，排列、组合在计数中的应用，合理分类，恰当分步是解决本题的关键