Question

12．设f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{x-1}$为奇函数，a为常数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在区间（1，+∞）内单调递增；
（3）若对于区间[2，5]上的每一个x的值，不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义，结合对数的运算性质，可得a=-1；
（2）运用单调性的定义，结合对数函数的单调性即可得证；
（3）由题意可得即f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x＞m恒成立．令g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x．只需g（x）_min＞m，由g（x）的单调性即可得到最小值．

解答 解：（1）由f（x）是奇函数，即为f（-x）=-f（x），
则$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1+ax}{-x-1}$=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{x-1}$，即有$\frac{1+ax}{-x-1}$=$\frac{x-1}{1-ax}$＞0，
即有1-a²x²=1-x²，解得a=±1，
检验a=1（舍），故a=-1．                   
（2）由（1）知f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{x+1}{x-1}$），
证明：任取1＜m＜n，n-1＞m-1＞0，即有0＜$\frac{2}{n-1}$＜$\frac{2}{m-1}$，
即1+$\frac{2}{n-1}$＜1+$\frac{2}{m-1}$，即0＜$\frac{n+1}{n-1}$＜$\frac{m+1}{m-1}$，
即有$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{n+1}{n-1}$＞$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{m+1}{m-1}$，
即f（n）＞f（m），f（x）在（1，+∞）内单调递增．        
（3）对于[2，5]上的每一个x的值，不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+m恒成立，
即f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x＞m恒成立．
令g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x．只需g（x）_min＞m，
又易知g（x）在[2，5]上是增函数，
∴g（x）_min=g（2）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$3-$\frac{1}{4}$，
则当m＜$lo{g}_{\frac{1}{2}}$3-$\frac{1}{4}$时原式恒成立．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，属于中档题．