Question

椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，椭圆上各点到直线l：x－y＋＋＝0的最短距离为1，求椭圆的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)． 　　∵e＝＝，∴可得a2＝4b2，∴椭圆方程为＋＝1． 　　设椭圆上的任意一点为M(2bcosθ，bsinθ)，则M到直线l的距离 　　d＝ 　　＝． 　　∵dmin＝1，∴椭圆完全在l下方， 　　∴sin(θ＋)＋＋＞0恒成立． 　　当sin(θ＋)＝－1时，dmin＝，得b＝1． 　　∴a2＝4b2＝4，∴椭圆方程为＋y2＝1． 　　分析一：特点到直线的距离问题转化为函数的最值问题求解． 　　解法二：设∥l，与椭圆相切，且是椭圆距离l较近的一条切线，则与l间的矩离为1，设：x－y＋m＝0． 　　∵＝1， 　　∴m＝或m＝＋2(舍)． 　　∴的方程为y＝x＋． 　　由e＝，设椭圆方程为＋＝1，即x2＋4y2＝4b2． 　　将y＝x＋代入得5x2＋8x＋20－4b2＝0，由Δ＝(8)2－4×5×(20－4b2)＝0得b2＝1． 　　故椭圆方程为＋y2＝1． 　　分析二：将直线l平移到，使与椭圆相切，则平行线与l间的距离为1，据此解决问题．

提示：

评注：涉及曲线上的点到直线的距离最短(或最长)的问题，往往利用平移法，将直线平移到与曲线相切，从而将问题转化为两平行线间的距离问题．