Question

定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]，则称f（x）是R上凹函数．已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，且a≠0）．
（1）求证：当a＞0时，函数f（x）的凹函数；
（2）如果x∈[0，1]时，|f（x）|≤1，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数f（x）的解析式，根据凹函数定义即可验证；
（2）由|f（x）|≤1表示出关于a的不等式，利用分离参数法，根据x的取值范围进行分析可得答案．

解答：（1）证明：∵二次函数f（x）=ax²+x
∴任取x₁，x₂∈R，则f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=a（

x1+x2

2

）²+

x1+x2

2

-

1

2

（a

x

2 1

+x1+a

x

2 2

+x2）=-

1

2

a(x1-x2)2
∵a＞0，(x1-x2)2≥0，∴

1

2

a(x1-x2)2≥0
∴f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤0
∴f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]
∴当a＞0时，函数f（x）的凹函数；
（2）解：由-1≤f（x）=ax²+x≤1，则有ax²≥-x-1且ax²≤-x+1．
（i）若x=0时，则a∈R恒成立，
（ii）若x∈（0，1]时，有 a≥-

1

x

-

1

x2

且a≤-

1

x

+

1

x2

∴a≥-

1

x

-

1

x2

=-（

1

x

+

1

2

）²+

1

4

且a≤-

1

x

+

1

x2

=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

，
∵0＜x≤1，∴

1

x

≥1．
∴当

1

x

=1时，-（

1

x

+

1

2

）²+

1

4

的最大值为-（1+

1

2

）²+

1

4

=-2，（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

的最小值为（1-

1

2

）²-

1

4

=0
∴-2≤a≤0；
又由a≠0，则a的范围是-2≤a＜0；
综（i）（ii）知，-2≤a＜0

点评：本题考查新定义--凹函数，考查学生对新定义的理解，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，属于中档题．