Question

已知函数1nx，且m＞0．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求m的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）求导函数，可得（m＞0）． …（1分）
因为函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以f'（x）≥0在[1+∞）上恒成立，
所以mx-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
所以上恒成立．
所以m的取值范围是[1，+∞）． …（3分）
（Ⅱ）令f′（x）=0，∴（m＞0）． …（4分）
①若＜1，即m＞1，则x∈[1，e]时，有f'（x）＞0，所以f（x）在[1，e]上递增，
所以f（x）的最大值是的最小值是f（1）=0…（6分）
②若＜e，即＜m≤1，则时，f′（x）＜0，所以f（x）在上递减；时，f′（x）＞0，所以f（x）在上递增．
所以f（x）的最小值是．
又，
所以当1-e+me＞0，即＜m≤1时，有f（e）＞f（1），所以f（x）的最大值是；
当1-e+me≤0，即时，有f（e）≤f（1），
所以f（x）的最大值是f（1）=0． …（9分）
③若，即，则x∈[1，e]时，有f'（x）＜0，
所以f（x）在[1，e]上递增，
所以f（x）的最大值是f（1）=0；f（x）的最小值是．…（11分）
所以f（x）的最大值是，f（x）的最小值是…（12分）
分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，可得f'（x）≥0在[1+∞）上恒成立，分离参数，即可求得m的取值范围；
（Ⅱ）求导函数，再分类讨论，确定函数的单调性，从而可确定函数f（x）在[1，e]的最大值和最小值．
点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导，确定分类标准是关键．