Question

已知函数，．
（1）求集合B；
（2）若；
（3）比较的大小，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵函数，
∴f′（x）=x²+4ax+a，
∵x₁，x₂∈A，∴f′（x）=0有两个实根，
∴x₁+x₂=-4a，x₁x₂=a，△=16a²-4a＞0，
∴a，或a＜0，
∵（1+x₁）（1+x₂）=1+（x₁+x₂）+x₁x₂=1-4a+a=1-3a，
（1-4a-x₁）（1-4a-x₂）=1-8a+16a²+（4a-1）（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-3a．
∵，
∴，
∴，即，
解得0＜a＜，或a≥2．
综上所述，B={a|，或a≥2}．
（2）∵x∈Z，且x∈B，∴x≥2，∴∈（0，]，
令t=∈（0，），令R（t）=tant-t，
则=tan²t＞0，
∴R（t）在（0，）上单调递增，
∴R（t）＞R（0）=0，∴tant-a＞0，
∴tan＞．
（3）由（2）得x≥2时，tan＞，
∵，
∴tan＞，∴，
∴，∴2012•sin′（）＞，
∴2012•＞1-，
∴2013，
∵，
∵，
∴sin＞sin．
分析：（1）由函数，f′（x）=x²+4ax+a，x₁，x₂∈A，知f′（x）=0有两个实根，故x₁+x₂=-4a，x₁x₂=a，△=16a²-4a＞0，再由，能求出B．
（2）令t=∈（0，），令R（t）=tant-t，则=tan²t＞0，由此能够证明tan＞．
（3）由（2）得x≥2时，tan＞，，故tan＞，，由此能够得到sin＞sin．
点评：本题考查集合的包含关系判断及应用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法的合理运用．